关于监外执行的管理部门，主要是居住地的公安机关。公安机关会根据相关法律程序，对申请监外执行的罪犯进行评估和审批。同时，基层组织或罪犯原单位会协助公安机关进行监督和管理工作。这一制度的执行必须严格，以确保法律的权威性和公众信任。
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申请监外执行时，通常由居住地公安机关主导处理。公安机关在执行过程中会考虑罪犯的具体情况、社会危害性及监管条件等因素。同时，为确保执行效果和社会安全，基层组织和罪犯原单位也会提供协助和监督。整个过程需接受人民检察院的法律监督，以确保公正合法。
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关于监外执行的申请和管理，具体流程如下：1）由居住地公安机关负责评估罪犯情况，判断是否适合监外执行；2）如符合条件，公安机关将做出监外执行的决定，并抄送人民检察院，接受法律监督；3. 基层组织或罪犯原单位将协助监督和管理；4）在监外执行期间，需严格管理和监督罪犯，确保其遵守法律和相关规定；5）根据实际情况变化，公安机关将及时调整执行方式。